Question

12．已知不等式$\frac{a-5}{x}$＜|1+$\frac{1}{x}$|-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）不等式|x-1|+|x+1|≤a的解集為A，不等式4≤2^x≤8的解集為B，試判斷A∩B是否一定為空集？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據x的范圍，得到關于a的不等式組，解出即可；（2）分別求出集合A，B，結合a的范圍，判斷A，B的交集是否是空集即可．

解答 解：（1）∵x＞0，∴1+$\frac{1}{x}$＞0，
不等式$\frac{a-5}{x}$＜|1+$\frac{1}{x}$|-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立，
即不等式$\frac{a-5}{x}$＜1+$\frac{1}{x}$-|1-$\frac{2}{x}$|＜$\frac{a+2}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x-2|}{x}＜\frac{x-a+6}{x}}\\{\frac{|x-2|}{x}＞\frac{x-a-1}{x}}\end{array}\right.$對x∈（0，+∞）恒成立．
即$\left\{\begin{array}{l}{-x+a-6＜x-2＜x-a+6}\\{x-2＞x-a-1或x-2＜-x+a+1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2＜-a+6}\\{-2＞-a-1}\end{array}\right.$，
解得：1＜a＜8；
（2）∵x＞0，∴x+1＞0，
令f（x）=|x-1|+|x+1|，
∴f（x）=|x-1|+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
由（1）a=8時，得：2x＜8，解得：x＜4，
故集合A的最大范圍是（0，4），
由4≤2^x≤8，解得：2≤x≤3，
故集合B=[2，3]，
故A∩B不一定是空集．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查集合的關系以及分類討論思想，是一道中檔題．