Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)l：上．

Ⅰ求圓的方程；

Ⅱ求過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線(xiàn)方程；

Ⅲ設(shè)圓與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA、PB交y軸于M、N點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

【解析】

Ⅰ設(shè)圓圓心為，由求得a的值，可得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Ⅱ當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，求得的方程；當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)：，由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑求得k的值，可得切線(xiàn)的方程．

Ⅲ設(shè)，由條件求得M、N的坐標(biāo)，可得圓的方程再根據(jù)定點(diǎn)在x軸上，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：Ⅰ法一：設(shè)圓圓心為，由得，，

解得，，半徑為，

所以圓：．

Ⅱ當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，：．

當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)：，

即，由圓心到切線(xiàn)的距離，

解得，此時(shí)：．

綜上：：或

Ⅲ設(shè)，則．

又，，

所以：，，：，

圓的方程為．

化簡(jiǎn)得．

由動(dòng)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)性可知，定點(diǎn)必在x軸上，令，得．

又點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．