Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

1

16

（1+4a_n+

1+24an

），a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令bn=

1+24an

，代入a_n+1=

1

16

（1+4a_n+

1+24an

）轉(zhuǎn)化為關(guān)于b_n的遞推式，可得{b_n-3}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此求出b_n的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．

解答： 解：令bn=

1+24an

，得an=

bn2-1

24

，
代入a_n+1=

1

16

（1+4a_n+

1+24an

），得

bn+12-1

24

=

1

16

(1+4•

bn2-1

24

+bn)，
即4bn+12=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3．
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，
又b1=

1+24×1

=5，則b₁-3=2≠0．
∴{b_n-3}是以2為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．
則bn-3=2•

1

2n-1

，∴bn=

1

2n-2

+3，
則an=

bn2-1

24

=

( 1 2n-2 +3)2-1

24

=

1

3

(

1

22n-1

+

3

2n

+1)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列特征的判斷，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．