已知數(shù)列{an}滿足an+1=
1
16
（1+4an+
1+24an
），a1=1，求數(shù)列{an}的通項公式．
考點：數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：令bn=
1+24an
，代入an+1=
1
16
（1+4an+
1+24an
）轉(zhuǎn)化為關(guān)于bn的遞推式，可得{bn-3}是以2為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列，由此求出bn的表達式，然后轉(zhuǎn)化為數(shù)列{an}的通項公式an．
解答： 解：令bn=
1+24an
，得an=
bn2-1
24
，
代入an+1=
1
16
（1+4an+
1+24an
），得
bn+12-1
24
=
1
16
(1+4•
bn2-1
24
+bn)，
即4bn+12=(bn+3)2，
∴2bn+1=bn+3．
∴2（bn+1-3）=bn-3，
又b1=
1+24×1
=5，則b1-3=2≠0．
∴{bn-3}是以2為首項，
1
2
為公比的等比數(shù)列．
則bn-3=2•
1
2n-1
，∴bn=
1
2n-2
+3，
則an=
bn2-1
24
=
(
1
2n-2
+3)2-1
24
=
1
3
(
1
22n-1
+
3
2n
+1)．
點評：本題考查數(shù)列特征的判斷，考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，考查邏輯推理能力，計算能力，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：2014-2015學年江西省贛州市北校高二1月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的結(jié)果是 ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
，
b
，|
a
|=2，
b
=（2，
3
），若|
a
-
b
|=
6
，則
a
•
b
的值是（　�。�
A、
5
4
B、
3
4
C、
3
2
D、
5
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x3-3x+m恰有2個不同的零點，則實數(shù)m的值為（　�。�
A、±2B、±1
C、-2或1D、-1或2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x0是函數(shù)f（x）=2x+
1
1-x
的一個零點，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），試判斷f（x1）和f（x2）的符號．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明：logn（n+1）＞log（n+1）（n+2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中．AD⊥平面ABE，BE=BC，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE，G為AC與BD的交點．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}滿足an+1＞an（n∈N*），a1=1，該數(shù)列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數(shù)列{bn}的前三項．
（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
（2）令Tn=
a1
b1
+
a2
b2
+…+
an
bn
（n∈N*），證明：Tn+
2n+3
2n
-
1
n
＜3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若點（5，b）在兩條平行直線6x-8y+1=0與3x-4y+5=0之間，則整數(shù)b的值為
 
．

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