Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a．
（1）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為$\frac{3}{2}$．求f（x）的單調(diào)區(qū)間與對稱中心
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，求出最小正實數(shù)m，使得函數(shù)f（x）的圖象向右平移m個單位長度后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，根據(jù)題意可得a=0，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱中心．
（2）由圖象平移的知識可得向右平移m個單位長度，代表將對稱軸移到y(tǒng)軸．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+a，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+a，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$+a，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為1+$\frac{1}{2}$+a+a=$\frac{3}{2}$．
∴a=0，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，
單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，可得x=-$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，
∴對稱中心是（-$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{1}{2}$），（k∈Z），
（2）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
對稱軸為x=$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，（k∈Z），
∴f（x）最大的負(fù)數(shù)對稱軸為x=-$\frac{π}{3}$，
m=$\frac{π}{3}$．

點評 由三角函數(shù)公式可化簡，根據(jù)題意可得a=0，易得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和對稱中心．由圖象平移的知識可得向右平移m個單位長度，代表將對稱軸移到y(tǒng)軸．