Question

10．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，∠ABC的平分線BF交圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作圓的切線交AC的延長線于點(diǎn)D
（Ⅰ）證明：BD=DF；
（Ⅱ）若∠D=∠EBC，求證：$\frac{A{B}^{2}}{B{D}^{2}}$=$\frac{AF}{CD}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明∠CFB=∠DBF，即可證明BD=DF；
（Ⅱ）證明BD²=AD×DC，AB²=AD×AF，即可證明$\frac{A{B}^{2}}{B{D}^{2}}$=$\frac{AF}{CD}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵過點(diǎn)B作圓的切線交AC的延長線于點(diǎn)D，
∴∠CBD=∠A，
∵∠ABC的平分線BF交圓于點(diǎn)E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠CFB=∠A+∠ABF，
∴∠CFB=∠DBF，
∴BD=DF；
（Ⅱ）∵BD是切線，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠BDC=∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DC}{DB}=\frac{BC}{AB}$，
∴BD²=AD×DC，$\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AB}$
∵∠D=∠EBC，∠CFB=∠DBF，∠ACB=∠CBD+∠D
∴△DBF∽△BCF，
∴$\frac{DB}{BC}=\frac{BF}{CF}$，
∵$\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{BF}{CF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵BF=BC，
∴$\frac{BC}{CF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵∠ABC的平分線BF交圓于點(diǎn)E，
∴利用角平分線的性質(zhì)可得$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴$\frac{BC}{CF}$=$\frac{AB}{AF}$，
∴$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD×AF，
∵BD²=AD×DC，
∴$\frac{A{B}^{2}}{B{D}^{2}}$=$\frac{AF}{CD}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．