分析 (1)設(shè)t=3x,則φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,φ(t)的對(duì)稱軸為t=a,當(dāng)a=1時(shí),即可求出f(x)的值域;
(2)由函數(shù)φ(t)的對(duì)稱軸為t=a,分類討論當(dāng)a<$\frac{1}{3}$時(shí),當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a≤3時(shí),當(dāng)a>3時(shí),求出最小值,則h(a)的表達(dá)式可求;
(3)假設(shè)滿足題意的m,n存在,函數(shù)h(a)在(3,+∞)上是減函數(shù),求出h(a)的定義域,值域,然后列出不等式組,求解與已知矛盾,即可得到結(jié)論.
解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=9x-2a•3x+3,
設(shè)t=3x,t∈[1,3],
則φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,對(duì)稱軸為t=a.
當(dāng)a=1時(shí),φ(t)=(t-1)2+2在[1,3]遞增,
∴φ(t)∈[φ(1),φ(3)],
∴函數(shù)f(x)的值域是:[2,6];
(Ⅱ)∵函數(shù)φ(t)的對(duì)稱軸為t=a,
當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),t∈[$\frac{1}{3}$,3],
當(dāng)a<$\frac{1}{3}$時(shí),ymin=h(a)=φ($\frac{1}{3}$)=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$;
當(dāng)$\frac{1}{3}$≤a≤3時(shí),ymin=h(a)=φ(a)=3-a2;
當(dāng)a>3時(shí),ymin=h(a)=φ(3)=12-6a.
故h(a)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3},a<\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2},\frac{1}{3}≤a≤3}\\{12-6a,a>3}\end{array}\right.$;
(Ⅲ)假設(shè)滿足題意的m,n存在,∵n>m>3,∴h(a)=12-6a,
∴函數(shù)h(a)在(3,+∞)上是減函數(shù).
又∵h(yuǎn)(a)的定義域?yàn)閇m,n],值域?yàn)閇m2,n2],
則$\left\{\begin{array}{l}{12-6m={n}^{2}}\\{12-6n={m}^{2}}\end{array}\right.$,
兩式相減得6(n-m)=(n-m)•(m+n),
又∵n>m>3,∴m-n≠0,∴m+n=6,與n>m>3矛盾.
∴滿足題意的m,n不存在.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的值域問(wèn)題,二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問(wèn)題一般結(jié)合圖象和單調(diào)性處理,是中檔題.
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A. | f(sin$\frac{π}{8}$)<f(cos$\frac{π}{8}$) | B. | f(sin1)>f(cos1) | ||
C. | f(sin$\frac{π}{12}$)<f(sin$\frac{5π}{12}$) | D. | f(sin$\frac{π}{12}$)>f(tan$\frac{π}{12}$) |
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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A. | 243 | B. | $27\root{5}{27}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 81 |
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