Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，且焦距為10，過C的右焦點作x軸的垂線與C的兩條漸近線交于點A，B，則△AOB（其中O為坐標原點）的面積為（　�。�

• A． 25
• B． 50
• C． 75
• D． 100

Answer 1

分析 由題意可得c=5，運用離心率公式可得a=$\sqrt{5}$，可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，求出漸近線方程，將x=5代入求得A，B的坐標和距離，運用三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得2c=10，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
可得c=5，a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，即為y=±2x，
由x=5，代入漸近線方程，可得y=±10，
可得|AB|=20，
△AOB的面積為S=$\frac{1}{2}$×5×20=50．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率和漸近線方程的運用，考查運算能力，屬于基礎題．