Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若異面直線AB與PC所成角為60°，求PA的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，求平面PQB與平面PDC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而QB⊥AD，進(jìn)而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PA的長(zhǎng)．
（3）分別求出平面PQB的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出平面PQB與平面PDC所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，∴QB⊥AD，
又∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD，
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．
解：（2）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥底面ABCD，
以Q為原點(diǎn)，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PQ=a，則Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，a），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（1，-$\sqrt{3}$，a），
設(shè)異面直線AB與CD所成角為θ，
∵異面直線AB與PC所成角為60°，
∴cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CP}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{1}{2}$，解得PQ=a=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PQA中，PA=$\sqrt{P{Q}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{12+1}$=$\sqrt{13}$．
（3）平面PQB的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
D（-1，0，0），$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（-1，$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$），
設(shè)平面PDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（ax，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-x-2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=2$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，0，-1），
設(shè)平面PQB與平面PDC所成銳二面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．
∴平面PQB與平面PDC所成銳二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．