Question

2．已知三棱錐P-ABC，平面PBC⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為它的中心，PB=PC=$\sqrt{2}$，D為PC的中點(diǎn)．
（1）若邊PA上是否存在一點(diǎn)E，使得AC⊥平面BOE，若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）求二面角P-BD-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）存在E為AP的三等分點(diǎn)且AE=2EP，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明CF⊥平面B₁DF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求二面角P-BD-O的余弦值．

解答 解：（1）存在E為AP的三等分點(diǎn)且AE=2EP，
∵，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，O為它的中心，
∴BO⊥AC，
連接AO延長(zhǎng)BC與F，連接PF，
F為BC的中點(diǎn)，AO=2OF，
∵PB=PC，∴PF⊥BC，
∵面PBC⊥平面ABC，
∴PF⊥平面ABC，即PF⊥AC，
在邊AP上取點(diǎn)E，使AE=2EP，則$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OF}$，
∴EO∥PF，EO⊥AC，
∵EO∩BO=O，
∴AC⊥平面BOE，
∴存在E為AP的三等分點(diǎn)且AE=2EP．
（2）取BC的中點(diǎn)F，連接PF，
∵PB=PC，∴PF⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABC，∴PF⊥平面ABC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴FA，F(xiàn)B，F(xiàn)P兩兩垂直，
建立以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)C分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：

∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，PB=PC=$\sqrt{2}$，
∴PF=1，
則P（0，0，1），C（0，-1，0），D（0，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），O（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，1，0），
則$\overrightarrow{BO}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
設(shè)平面DOB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-$\frac{3}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0．
令y=1，則x=$\sqrt{3}$，z=3，
則$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，3），
由題意得平面PBD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$，
∵二面角P-BD-O為鈍二面角，
∴二面角P-BD-O的余弦值為-$\frac{\sqrt{39}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間線(xiàn)面垂直的判斷以及二面角的求解，利用線(xiàn)面垂直的判定定理以及二面角的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．