Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，cosα），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{3}$，sinα）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求$\frac{cosα-sinα}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$且α、β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），求sin（β-α）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的平行的條件得到tanα=$\frac{1}{3}$，再化簡(jiǎn)求值即可，
（2）根據(jù)向量垂直的條件得到sin2α=-$\frac{2}{3}$，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，cosα），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{3}$，sinα），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴sinα-$\frac{1}{3}$cosα=0，
∴tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{cosα-sinα}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{cosα-sinα}{sinα+cosα}$=$\frac{1-tanα}{tanα+1}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$，
（2）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴1×$\frac{1}{3}$+sinαcosα=0，
∴sin2α=-$\frac{2}{3}$，
∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴2α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∵α、β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∵cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）=-$\frac{5}{13}$，
∴sin（β-α）=sin（α+β-2α）=sin（α+β）cos2α+cos（α+β）sin2α=-$\frac{5}{13}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）-$\frac{12}{13}$×（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{24-5\sqrt{5}}{39}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行和垂直的條件以及同角三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和差的正弦公式，屬于中檔題．