Question

7．給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域?yàn)閧x|x＞-$\frac{1}{a}$}；
③x²+y²-10x+4y-5=0上的任意點(diǎn)M關(guān)于直線ax-y-5a-2=0對(duì)稱點(diǎn)M′也在該圓上．
④函數(shù)f（x）=e^-xx²在x=2處取得極大值；
其中正確命題的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷
②當(dāng)a=0時(shí)，進(jìn)行判斷；
③求出圓的圓心和直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)行判斷．
④利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系判斷．

解答 解：①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2不正確，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，則基本不等式不滿足條件；故①錯(cuò)誤，
②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域?yàn)镽，則②錯(cuò)誤；
③x²+y²-10x+4y-5=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+（y+2）²=34，則圓心坐標(biāo)為（5，-2），
直線ax-y-5a-2=0等價(jià)為a（x-5）-y-2=0，則直線過(guò)定點(diǎn)（5，-2），即直線過(guò)圓的圓心，
故③正確，
④函數(shù)f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2e^-xx，令-e^-xx²+2e^-xx，解得x=2，
當(dāng)x＜2時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以函數(shù)在x=2處取得極大值；正確．
故正確的是③④，
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系最值的求法，兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的定義域的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．