Question

16．已知各項均為正數(shù)且項數(shù)為4的數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，4）的首項為1，若存在a₃，使得對于任意的a₄∈（7，8），均有$\sqrt{{a}_{k}•{a}_{k+2}}$＜a_k+1＜$\frac{{a}_{k}+{a}_{k+2}}{2}$（k=1，2）成立，則a₂的取值范圍為（2，3）．

Answer 1

分析 通過令k=1、2時得到兩個不等式組，進(jìn)而聯(lián)立整理可知$\root{3}{{a}_{4}}$＜a₂＜$\frac{2+{a}_{4}}{3}$，利用a₄∈（7，8）即可得結(jié)論．

解答 解：依題意，當(dāng)k=1時，有$\sqrt{{a}_{1}{a}_{3}}$＜a₂＜$\frac{{a}_{1}+{a}_{3}}{2}$，
即$\sqrt{{a}_{3}}$＜a₂＜$\frac{1+{a}_{3}}{2}$，
當(dāng)k=2時，$\sqrt{{a}_{2}{a}_{4}}$＜a₃＜$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{2}$，
聯(lián)立以上二式可知：2a₂-1＜a₃＜$\frac{{a}_{2}+{a}_{4}}{2}$，
整理得：a₂＜$\frac{2+{a}_{4}}{3}$，
同理可得：$\sqrt{{a}_{2}{a}_{4}}$＜${{a}_{2}}^{2}$，即a₂＞$\root{3}{{a}_{4}}$，
綜上所述，$\root{3}{{a}_{4}}$＜a₂＜$\frac{2+{a}_{4}}{3}$，
∵a₄∈（7，8），
∴2＜a₂＜3，
故答案為：（2，3）．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．