Question

8．已知sinθ和cosθ為方程$2{x^2}-（\sqrt{3}+1）x+m=0$的兩根，求
（1）$\frac{sinθ}{{1-\frac{1}{tanθ}}}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$；
（2）m的值．

Answer 1

分析 （1）利用韋達(dá)定理求得sinθ+cosθ和sinθ•cosθ的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得要求式子的值．
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得 cosθ和sinθ的值，再利用韋達(dá)定理求得m的值．

解答 解：（1）∵sinθ和cosθ為方程$2{x^2}-（\sqrt{3}+1）x+m=0$的兩根，∴sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sinθ•cosθ=$\frac{m}{2}$，
∴$\frac{sinθ}{{1-\frac{1}{tanθ}}}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{{sin}^{2}θ}{sinθ-cosθ}$+$\frac{{cos}^{2}θ}{cosθ-sinθ}$=$\frac{cos2θ}{cosθ-sinθ}$=cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）∵cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，sin²θ+cos²θ=1，∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{1}{2}}\\{cos=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{cosθ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴sinθ•cosθ=$\frac{m}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴m=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查韋達(dá)定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．