Question

6．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-1）=0，且4x≤f（x）≤2（x²+1）對(duì)于任意x∈R恒成立．
（1）求f（1）的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{f（x）}$定義域?yàn)镈，現(xiàn)給出一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算程序：x₁→x₂=g（x₁）→x₃=g（x₂）→…x_n=g（x_n-1），按照這個(gè)運(yùn)算規(guī)則，若給出x₁=$\frac{7}{3}$，請(qǐng)你寫出滿足上述條件的集合D={x₁，x₂，x₃，…，x_n}的所有元素．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由已知，令x=1可得f（1）=4，聯(lián)立f（-1）=0，得b=2，a+c=2，又ax²+bx+c≥4x，可得$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-4ac≤0\end{array}\right.$，解得a，c的值，從而可求f（x）的表達(dá)式．
（2）由已知化簡(jiǎn)可得g（x）=1-$\frac{2}{x+1}$，分別求出x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，…，由于各數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，根據(jù)集合的互異性，即可得解所有元素．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由4x≤f（x）≤2（x²+1），令x=1得4≤f（1）≤4，
∴f（1）=4，…（2分）
聯(lián)立f（-1）=0，得$\left\{\begin{array}{l}a+b+c=4\\ a-b+c=0\end{array}\right.$，…（5分）
得b=2，a+c=2，…（4分）
又ax²+bx+c≥4x，即ax²-2x+c≥0，對(duì)x∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=4-4ac≤0\end{array}\right.$…（6分）
∴有（a+c）²-4ac≤0，即（a-c）²≤0，
∴a=1，c=1，
∴f（x）=（x+1）²，…（7分）
（2）由 $g（x）=\frac{{{x^2}-1}}{f（x）}=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$，…（8分）
由題意${x_1}=\frac{7}{3}$，${x_2}=g（{x_1}）=\frac{2}{5}$，${x_3}=g（{x_2}）=-\frac{3}{7}$，${x_4}=g（{x_3}）=-\frac{5}{2}$，${x_5}=g（{x_4}）=\frac{7}{3}$，
后面的數(shù)重復(fù)出現(xiàn)，根據(jù)集合的互異性，故$D=\left\{{\frac{7}{3}，\frac{2}{5}，-\frac{3}{7}，-\frac{5}{2}}\right\}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的恒成立問題一般分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0，是中檔題．