Question

3．已知sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，且0＜x＜π，則cos2x=（　�。�

• A． $\frac{24}{25}$
• B． $-\frac{24}{25}$
• C． $\frac{7}{25}$
• D． $-\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 法一：利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式展開已知可求sinx+cosx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，兩邊平方可得sin2x=-$\frac{7}{25}$，結(jié)合已知可求范圍2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cos2x的值；
法二：由已知可求cos（x+$\frac{π}{4}$），利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式即可計(jì)算得解．

解答 解：法一：∵sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）=$\frac{3}{5}$，可得：sinx+cosx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴平方可得：1+sin2x=$\frac{18}{25}$，解得：sin2x=-$\frac{7}{25}$．
∵0＜x＜π，可得x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），可得：x∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴2x∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴結(jié)合sin2x=-$\frac{7}{25}$＜0，可得：2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2x=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2x}$=-$\sqrt{1-（-\frac{7}{25}）^{2}}$=-$\frac{24}{25}$．
法二：∵0＜x＜π，可得：x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∵sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴利用正弦函數(shù)的圖象可知必有cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$．
∴cos2x=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=2×$\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）$=-$\frac{24}{25}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，由題意求得范圍2x∈（π，$\frac{3π}{2}$）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．