Question

12．二項式（ax+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$）⁶的展開式中x⁵的系數(shù)為$\sqrt{3}$，則$\int_0^a$x²dx=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用二項式定理的展開式可得a，再利用微積分基本定理即可得出．

解答 解：二項式（ax+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$）⁶的展開式中通項公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{6-r}$（ax）^r，令r=5，則T₆=${∁}_{6}^{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$×a⁵x⁵．
∵x⁵的系數(shù)為$\sqrt{3}$，∴${∁}_{6}^{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a⁵=$\sqrt{3}$，解得a=1．
則$\int_0^a$x²dx=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了二項式定理、微積分基本定理，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于中檔題．