Question

11．如圖所示在圓錐PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O的直徑AB=2，C是$\widehat{AB}$上的點(diǎn)（點(diǎn)C不與AB重合），D為AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求圓錐PO的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)△AOC是等腰直角三角形證出中線OD⊥AC，再結(jié)合PD⊥AC證出AC⊥POD，利用平面與平面垂直的判定定理，可證出平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求出母線，即可求圓錐PO的表面積．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA=PD，D是AC中點(diǎn)，
∴PD⊥AC．…（2分）
又∵OA=OC，D是AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC．…（4分）
又∵PD、OD?平面POD，且PD∩OD=D，
∴AC⊥平面POD．…（6分）
∴平面POD⊥平面PAC．…（8分）
（Ⅱ）解：∵$PO=\sqrt{2}$，底面半徑$r=OB=\frac{1}{2}AB=1$，∴母線$l=PB=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$
∴表面積$S=π{r^2}+πrl=π×1+π×1×\sqrt{3}=（{1+\sqrt{3}}）π$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直、平面與平面垂直的證明，考查表面積的計(jì)算，屬于中檔題．