Question

16．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l經(jīng)過定點P（1$，\sqrt{2}$），傾斜角為$\frac{π}{3}$．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓的標準方程；
（2）設(shè)直線l與圓相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由直線的參數(shù)方程的標準形式和同角的平方關(guān)系，即可得到所求方程；
（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的標準方程，可得t的二次方程，由韋達定理和參數(shù)的幾何意義，即可得到所求值．

解答 解：（1）直線l經(jīng)過定點P（1$，\sqrt{2}$），傾斜角為$\frac{π}{3}$，
可得直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=\sqrt{2}+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
由sin²θ+cos²θ=1，可得圓的標準方程為x²+y²=4；
（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的標準方程，
可得（1+$\frac{1}{2}$t）²+（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²=4，
化為t²+（1+$\sqrt{6}$）t-1=0，
設(shè)t₁，t₂是方程的兩個實根，則t₁t₂=-1，
則|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=1．

點評 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，注意運用同角的平方關(guān)系，同時考查直線參數(shù)方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．