Question

2．若關(guān)于x的不等式0≤x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$，對任意n∈N⁺恒成立，則x的取值范圍是{-1，$\frac{2}{9}$}．

Answer 1

分析 把0≤x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$轉(zhuǎn)化為$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$-$\frac{2}{9}$≤x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$，對任意n∈N⁺恒成立，再求出$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$$∈（0，\frac{2}{9}]$，得到x${\;}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}$=0，解得即可．

解答 解：若關(guān)于x的不等式0≤x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$，對任意n∈N⁺恒成立
∴$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$-$\frac{2}{9}$≤x²+$\frac{7}{9}$x-$\frac{2}{9}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$＜$\frac{2}{9}$，對任意n∈N⁺恒成立

∵$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{1}{{2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}}+2}$$∈（0，\frac{2}{9}]$，
故0≤x${\;}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}$≤0，
即：x${\;}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}$=0，
解得：x=-1或x=-$\frac{2}{9}$，
所以x 的解的集合是{-1，$\frac{2}{9}$}，
故答案為：{-1，$\frac{2}{9}$}．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，基本不等式，其中將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解答此類問題的關(guān)鍵