Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax²-4x+2，函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x）
（Ⅰ）若y=f（x）的對稱軸是x=2，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下求出g（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解a即可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，先求解出f（x）的值域，再求g（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的對稱軸是x=2，即：$-\frac{-4}{2a}=2$，
解得：a=1，
∴所求f（x）的解析式為：f（x）=x²-4x+2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：設(shè)t=f（x）=x²-4x+2=（x-2）²-2，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-2；
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，+∞）．
又g（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x）=$（\frac{1}{3}）^{t}$為減函數(shù)，t∈[-2，+∞）；
∴當(dāng)t=-2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為9．
∴函數(shù)g（x）=（$\frac{1}{3}$）^f（x）的值域?yàn)椋?，9]．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和復(fù)合函數(shù)的值域求法，利用基本函數(shù)的單調(diào)性求解．屬于中檔題．