Question

16．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求證：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中點(diǎn)H，以A為原點(diǎn)，以AD，AH，AS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{CN}$和平面BDM的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標(biāo)，利用數(shù)量積證明$\overrightarrow{CN}$⊥$\overrightarrow{n}$即可得出結(jié)論；
（2）通過計(jì)算cos＜$\overrightarrow{DS}$，$\overrightarrow{n}$＞即可得出直線SD與平面BDM所成的角的正弦值．

解答 證明：（I）∵底面ABCD是邊長為4的菱形，∠ABC=60°，
∴AH⊥BC，又BC∥AD，
∴AD⊥AH．
取BC的中點(diǎn)H，以A為原點(diǎn)，以AD，AH，AS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示：
則D（4，0，0），M（0，0，1），S（0，0，4），B（-2，2$\sqrt{3}$，0），C（2，2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{CD}$=（2，-2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DS}$=（-4，0，4），$\overrightarrow{DB}$=（-6，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DM}$=（-4，0，1），
∴$\overrightarrow{DN}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{DS}$=（-$\frac{4}{3}$，0，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DN}$=（$\frac{2}{3}$，-2$\sqrt{3}$，$\frac{4}{3}$），
設(shè)平面BDM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4x+z=0}\\{-6x+2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，4）．
∴$\overrightarrow{CN}•\overrightarrow{n}$=$\frac{2}{3}×1$-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+$\frac{4}{3}×4$=0．
又∵CN?平面BDM，
∴CN∥平面BDM．
（II）$\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}$=-4+0+16=12，
|$\overrightarrow{DS}$|=$\sqrt{32}$=4$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{DS}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{DS}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．
∴直線SD與平面BDM所成的角的正弦值為$\frac{3\sqrt{10}}{20}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定定理，線面角的計(jì)算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．