Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2與x=1時都取得極值
（Ⅰ） 求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=1和x=-2代入求出a、b即可；
（Ⅱ）求出f（x）在[-1，2]的最大值，得到關(guān)于c的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)在x=1，x=-2時都取得極值，
∴1，-2是3x²+2ax+b=0的兩個根，
1-2=-$\frac{2}{3}$a，-2=$\frac{3}$，
∴a=$\frac{3}{2}$，b=-6，
∴f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x+c，f′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，（-2，1）遞減，（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在[-1，1）遞減，在（1，2]遞增，
∴f（x）_max=f（-1）=$\frac{13}{2}$+c＜c²，
解得：c＞2或c＜-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．