6.已知二次函數(shù)f(x)=x2+mx+n(m,n∈R)的兩個零點(diǎn)分別在(0,1)與(1,2)內(nèi),則(m+1)2+(n-2)2的取值范圍是[2,5].

分析 由二次方程根的分布可得m,n所滿足的不等式組,再由(m+1)2+(n-2)2的幾何意義,由線性規(guī)劃的知識可求解.

解答 解:
由題意知,二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內(nèi),如圖

由圖象可得:$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=n>0}\\{f(1)=m+n+1<0}\\{f(2)=2m+n+4>0}\end{array}\right.$,
此不等式組所表示的平面區(qū)域為下圖:

設(shè)$z=\sqrt{(m+1)^{2}+(n-2)^{2}}$,則Z的幾何意義即為點(diǎn)E(-1,2)到區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的連線段的距離,
過點(diǎn)E作直線m+n+1=0的垂線,如圖,可得Z得最小值為點(diǎn)E到該直線的距離,即${Z}_{min}=\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$,
又|EC|=2,|EB|=$\sqrt{5}$,∵A(-3,2),∴|EA|=2,
故Z的最大值為$\sqrt{5}$.
∴Z的范圍為$[\sqrt{2},\sqrt{5}]$,
∴(m+1)2+(n-2)2的范圍為:[2,5].
故答案為:[2,5].

點(diǎn)評 本題考查二次方程根的分布及簡單的線性規(guī)劃知識.解題關(guān)鍵在于能根據(jù)根的位置得到不等式組,轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.然后再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解.本題考查了數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.屬于中檔題.

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