Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，設(shè)c=$\frac{5}{2}，{b_n}=\frac{1}{{{a_n}-2}}$，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，$c=\frac{5}{2}$，可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}-2}}=\frac{4}{{{a_n}-2}}+2$，于是b_n+1=4b_n+2．變形為${b_{n+1}}+\frac{2}{3}=4（{b_n}+\frac{2}{3}）$，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=c-$\frac{1}{a_n}$，$c=\frac{5}{2}$，
∴${a_{n+1}}-2=\frac{5}{2}-\frac{1}{a_n}-2=\frac{{{a_n}-2}}{{2{a_n}}}$，$\frac{1}{{{a_{n+1}}-2}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}-2}}=\frac{4}{{{a_n}-2}}+2$，
∵b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
∴b_n+1=4b_n+2．
變形為${b_{n+1}}+\frac{2}{3}=4（{b_n}+\frac{2}{3}）$，
又${a_1}=1，故{b_1}=\frac{1}{{{a_1}-2}}=-1$，
∴$（{b_n}+\frac{2}{3}）$是首項為$-\frac{1}{3}$，公比為4的等比數(shù)列，
∴${b_n}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}×{4^{n-1}}$，
∴${b_n}=-\frac{{{4^{n-1}}}}{3}-\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．