Question

8．（文）已知 F₁、F₂為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，若雙曲線上存在點A，使∠F₁AF₂=90°，且|AF₁|=3|AF₂|，求雙曲線的離心率．

Answer 1

分析 根據雙曲線的定義，結合直角三角形的邊長關系建立方程進行求解即可．

解答 解：由題意知，|AF₁|-|AF₂|=2a，
又|AF₁|=3|AF₂|，
∴|AF₁|=3a，|AF₂|=a，
$\begin{array}{l}∵∠F_1AF_2={90^0}\\∴{|{AF_1}|^2}+{|{AF_2}|^2}={|{F_1F_2}|^2}\end{array}$
即（3a）²+a²=2c²，
即5a²=2c²
∴$e=\frac{c}{a}═\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據雙曲線的定義和直角三角形的性質是解決本題的關鍵．