Question

12．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積與其外接球的體積之比為（　�。�

• A． 1：3π
• B． $\sqrt{3}：π$
• C． $1：3\sqrt{3}π$
• D． $1：\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是一個三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，根據(jù)對應(yīng)的正方體求出外接球的半徑，由柱體、球體的體積公式求出該幾何體的體積與其外接球的體積之比．

解答 解根據(jù)三視圖可知幾何體是一個三棱柱A′B′D′-ABD，如圖：
底面是一個等腰直角三角形，兩條直角邊分別是2、高為2，
∴幾何體的體積V=sh=$\frac{1}{2}×2×2×2$=4，
由圖得，三棱柱A′B′D′-ABD與正方體A′B′C′D′-ABCD的外接球相同，且正方體的棱長為2，
∴外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{3×{2}^{2}}}{2}$=$\sqrt{3}$，
則外接球的體積V′=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$4\sqrt{3}π$，
∴該幾何體的體積與其外接球的體積之比為$\frac{V}{V′}$=$\frac{1}{\sqrt{3}π}$，
故選：D．

點評 本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．