Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)先求f′（2），即切線的斜率k=f′（2），代入點(diǎn)斜式方程，即可求出對(duì)應(yīng)的切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²-3，f′（2）=3×2²-3=9，
即切線的斜率k=f′（2）=9，又f（2）=2，
運(yùn)用點(diǎn)斜式方程得：
y-2=9（x-2），即：9x-y-16=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程是9x-y-16=0；
（Ⅱ）f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
當(dāng)f（x）在區(qū)間[-1，m]（m＞-1）上時(shí)：
①-1＜m≤1時(shí)，f（x）在[-1，m]遞減，
f（x）_min=f（m）=m³-3m，
②m＞1時(shí)，f（x）在[-1，1）遞減，在[1，m）遞增，
∴f（x）的最小值是f（1）=-2，
綜上，-1＜m≤1，f（x）_min=f（m）=m³-3m，
m＞1時(shí)，f（x）_min=f（1）=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．