Question

2．在△ABC中，已知AC=4，BC=5．
（1）若∠A=60°，求cosB的值；
（2）若cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，點(diǎn)D在邊BC上，滿足DB=DA，求CD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合正弦定理求得sinB，再由已知知B為銳角，由平方關(guān)系求得cosB的值；
（2）由題意畫(huà)出圖形，設(shè)BD=x，則AD=x，CD=5-x，在△ADC中，由余弦定理求得x值，則CD的長(zhǎng)度可求．

解答 解：（1）在△ABC中，由AC=4，BC=5，∠A=60°，
得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，即$\frac{5}{sin60°}=\frac{4}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{4}{5}sin60°=\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$
∵AC＜BC，
∴∠B為銳角，則cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{3}}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{5}$；
（2）如圖，設(shè)BD=x，則AD=x，CD=5-x，
在△ADC中，cos∠CAD=cos（A-B）=$\frac{7}{8}$，
由余弦定理得：$（5-x）^{2}={x}^{2}+{4}^{2}-2•4•x•\frac{7}{8}$，
解得：x=3，
∴CD=5-3=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．