Question

11．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)相等，若∠AA₁B₁=∠AA₁C₁=60°，則異面直線A₁C與AB₁所成角的余弦值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{8}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\overrightarrow，\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{c}$，再設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)為m，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求出cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$，則異面直線A₁C與AB₁所成角的余弦值可求．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=\overrightarrow，\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{c}$，
再設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)為m，
則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow•\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}{m}^{2}$，
$\overrightarrow{{A}_{1}C}=\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}+\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}-\overrightarrow{{A}_{1}A}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=$\overrightarrow•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow{a}}^{2}$=$-\frac{1}{2}{m}^{2}$．
$|\overrightarrow{{A}_{1}C}|=\sqrt{（\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}$=$\sqrt{3}m$，
$|\overrightarrow{A{B}_{1}}|=\sqrt{（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$=m．
∴cos$＜\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}}{\sqrt{3}m•m}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$．
則異面直線A₁C與AB₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求夾角，是中檔題．