Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=a_n+2，n∈N^*，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)a_n•（1+2log₃b_n）•c_n=1，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．由于數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列．已知a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．分別令n=1，2，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）由于（a_n+1）•log₃b_n+2•c_n=2n（n+2）•c_n=1，可得c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2，n∈N^*，a₁=1，
∴{a_n}是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=2n-1．                                          …（3分）
∵a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3，
∴a₁b₁=3，a₁b₁+a₂b₂=30，
解得b₁=3，b₂=9．
∴{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3ⁿ．                            …（7分）
（Ⅱ）∴a_n•（1+2log₃b_n）•c_n=（2n-1）•（2n+1）•c_n=1，
∴c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）             …（10分）
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．                         …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．