Question

20．數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a${\;}_{n}^{2}$成等差數(shù)列．
（1）求a₁；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）a_n，S_n，${{a}_{n}}^{2}$成等差數(shù)列⇒2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，令n=1，a₁＞0，即可求得a₁；
（2）由2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$①，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$②，①-②，利用等差數(shù)列的定義可得數(shù)列{a_n}為公差為1、a₁=1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）利用裂項法可得$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，于是可求{$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，${{a}_{n}}^{2}$成等差數(shù)列，
∴2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，
當n=1時，2a₁=a₁+${{a}_{1}}^{2}$，又a₁＞0，
∴a₁=1；
（2）由2S_n=a_n+${{a}_{n}}^{2}$，①
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1+${{a}_{n-1}}^{2}$，②
①-②得：2a_n=a_n-a_n-1+${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$，即a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，即數(shù)列{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，
又a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（3）∵$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的判定及其通項公式的求法，考查裂項法求和，屬于中檔題．