Question

5．已知函數f（x）=x+xlnx，若a∈Z，且直線y=ax在曲線y=f（x+1）的下方，則a的最大值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令g（x）=f（x+1）-ax，求出g（x）的最小值，令g_min（x）≥0得出a的范圍．

解答 解：∵直線y=ax在曲線y=f（x+1）的下方，
∴ax≤f（x+1）=x+1+（x+1）ln（x+1）=（x+1）[1+ln（x+1）]，
令g（x）=f（x+1）-ax=（x+1）[1+ln（x+1）]-ax，則g_min（x）≥0．
g′（x）=ln（x+1）+2-a，
令g′（x）=0得x=e^a-2-1，
∴當-1＜x＜e^a-2-1時，g′（x）＜0，當x＞e^a-2-1時，g′（x）＞0．
∴g（x）在（-1，e^a-2-1）上單調遞減，在（e^a-2-1，+∞）上單調遞增．
∴g_min（x）=g（e^a-2-1）=a-e^a-2≥0．
∴a≥e^a-2．
∵a∈Z，
經檢驗，a=1，2，3時上式均成立，a=4時，上式不成立，
∴a的最大值為3．
故選：C．

點評 本題考查了導數與函數單調性的關系，函數最值的計算，屬于中檔題．