Question

15．圓x²+y²=9的切線MT過雙曲線$\frac{x^2}{9}$-$\frac{y^2}{12}$=1的左焦點(diǎn)F，其中T為切點(diǎn)，M為切線與雙曲線右支的交點(diǎn)，P為MF的中點(diǎn)，則|PO|-|PT|=2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 由雙曲線方程，求得c=$\sqrt{21}$，根據(jù)三角形中位線定理和圓的切線的性質(zhì)，可知|PO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|PT|=$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|，并結(jié)合雙曲線的定義可得|PO|-|PT|=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=2$\sqrt{3}$-3．

解答 解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F′，則PO是△PFF′的中位線，
∴|PO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|PT|=$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|，
根據(jù)雙曲線的方程得：
a=3，b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{21}$，
∴|OF|=$\sqrt{21}$，
∵M(jìn)F是圓x²+y²=9的切線，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=$\sqrt{丨OF{丨}^{2}-丨OT{丨}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴|PO|-|PT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|MF|-|FT|）=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=2$\sqrt{3}$-3，
故答案為：2$\sqrt{3}$-3．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形的中位線定理、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．