Question

已知過圓O：x²+y²=1上一動點(diǎn)M作平行與y軸的直線l，設(shè)直線l交與x軸于點(diǎn)N，

OQ

=

OM

+

ON

的點(diǎn)Q的軌跡為曲線N．
（1）求曲線方程；
（2）若過點(diǎn)（-3，0）的直線l與曲線N有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出M及Q的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出N的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式，用x與y分別表示出x₀及y₀，將表示出的x₀及y₀代入圓C的方程，得到x與y的關(guān)系式，再根據(jù)由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，即可得出Q的軌跡方程；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+3），代入

x2

4

+y²=1，整理可得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，利用過點(diǎn)（-3，0）的直線l與曲線N有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得△=（24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，即可求直線l的斜率的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則N點(diǎn)坐標(biāo)是（x₀，0），
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=

x

2

，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=1，∴

x2

4

+y²=1，
由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，
∴Q點(diǎn)的軌跡方程是

x2

4

+y²=1（x≠0）；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x+3），代入

x2

4

+y²=1，
整理可得（1+4k²）x²+24k²x+36k²-4=0，
∵過點(diǎn)（-3，0）的直線l與曲線N有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴△=（24k²）²-4（1+4k²）（36k²-4）＞0，
∴-

5

5

＜k＜

5

5

．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查動點(diǎn)的軌跡方程，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，屬于中檔題．