Question

12．過雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$的左焦點F₁作一條l交雙曲線左支于P、Q兩點，若|PQ|=8，F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點，則△PF₂Q的周長是20．

Answer 1

分析 △PF₂Q的周長=|PF₂|+|QF₂|+|PQ|，由雙曲線的性質(zhì)能夠推出|PF₂|+|QF₂|=12，從而推導(dǎo)出△PF₂Q的周長．

解答 解：
∵|PF₁|+|QF₁|=|PQ|=8
∵雙曲線x²-$\frac{y^2}{4}$=1的通徑為$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2×{2}^{2}}{1}$=8
∵PQ=8
∴PQ是雙曲線的通徑
∴PQ⊥F₁F₂，且PF₁=QF₁=$\frac{1}{2}$PQ=4
∵由題意，|PF₂|-|PF₁|=2，|QF₂|-|QF₁|=2
∴|PF₂|+|QF₂|=|PF₁|+|QF₁|+4=4+4+4=12
∴△PF₂Q的周長=|PF₂|+|QF₂|+|PQ|=12+8=20，
故答案為20．

點評 本題考查雙曲線的定義，解題時要注意審題．屬于基礎(chǔ)題．