Question

14．已知二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中的第5項(xiàng)為常數(shù)，求展開式中x$\sqrt{x}$項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析 由條件利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，根據(jù)當(dāng)r=4時(shí)，$\frac{n-12}{2}$=0，求得n=12，在二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式中令x的指數(shù)等于$\frac{3}{2}$，求得r的值，可得展開式中x$\sqrt{x}$項(xiàng)的系數(shù)．

解答 解：二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的展開式中的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{n-3r}{2}}$，根據(jù)題意，當(dāng)r=4時(shí)，$\frac{n-12}{2}$=0，
解得n=12，
故展開式中的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{12}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{12-3r}{2}}$．
令$\frac{12-3r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=3，故展開式中x$\sqrt{x}$項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{12}^{3}$•（-8）=-1760．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．