Question

3．已知$\overrightarrow a$=（1，1，1），$\overrightarrow b$=（0，y，1）（0≤y≤1），則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞最大值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 【解法一】利用作圖法，構(gòu)造正方體，考慮極端情況，可快速得出答案；
【解法二】根據(jù)兩向量的數(shù)量積求出夾角的余弦值cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞，再利用換元法求出它的最大值即可．

解答 解：【解法一】利用作圖法，構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的邊長為1，
如圖所示；
則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OB′}$=（1，1，1），
$\overrightarrow$=$\overrightarrow{OE}$=（0，y，1），且E在線段D′C′上移動(dòng)，
當(dāng)E在D′位置時(shí)，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{1×0+1×0+1×1}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}×\sqrt{{0}^{2}{+0}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當(dāng)E在C′位置時(shí)，cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{1×0+1×1+1×1}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$為最大值．
【解法二】∵$\overrightarrow a$=（1，1，1），$\overrightarrow b$=（0，y，1）（0≤y≤1），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=y+1，
|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
∴cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow|}$=$\frac{y+1}{\sqrt{3}•\sqrt{{y}^{2}+1}}$；
設(shè)t=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，則t²-1=y²，
∴y=$\sqrt{{t}^{2}-1}$（1≤t≤$\sqrt{2}$），
∴f（t）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{{t}^{2}-1}+1}{t}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\sqrt{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$+$\frac{1}{t}$）；
設(shè)sinα=$\frac{1}{t}$，則1≥sinα≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{π}{4}$≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴g（α）=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$+sinα）
=$\frac{1}{\sqrt{3}}$（cosα+sinα）
=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∴當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，g（α）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用向量的數(shù)量積求夾角的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．