Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（ksinx，cosx），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cosx，-kcosx），k＞0，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最大值為1．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c以f（A）=l，a=2，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=k$sin（2x-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}k$，由于k＞0，可得當(dāng)$sin（2x-\frac{π}{6}）$=1時(shí)，f（x）_max=k-$\frac{1}{2}k$=1，解得k．
（II）由（I）可知：f（x）=2$sin（2x-\frac{π}{6}）$-1，可得：$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，A∈（0，π），在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，化為：bc=$\frac{5}{3}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA即可得出．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$ksinxcosx-kcos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}ksin2x$-$\frac{k}{2}（1+cos2x）$=k$sin（2x-\frac{π}{6}）$-$\frac{1}{2}k$，
∵k＞0，∴當(dāng)$sin（2x-\frac{π}{6}）$=1時(shí)，f（x）_max=k-$\frac{1}{2}k$=1，解得k=2．
（II）由（I）可知：f（x）=2$sin（2x-\frac{π}{6}）$-1，
f（A）=$2sin（2A-\frac{π}{6}）$-1=1，∴$sin（2A-\frac{π}{6}）$=1，A∈（0，π），∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得：A=$\frac{π}{3}$．
在△ABC中，a²=b²+c²-2bccosA，∴2²=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，化為：bc=$\frac{5}{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×\frac{5}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差化積、倍角公式、三角函數(shù)求值、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．