Question

18．已知A為橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的點(diǎn)，過A作AB⊥x軸，垂足為B，延長BA到C使得|AB|=|AC|．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）若直線l過點(diǎn)D（2，3）且與點(diǎn)C的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)C（x，y），A（x₀，y₀），可得B（x₀，0），由|AB|=|AC|，可得A是BC的中點(diǎn)，因此$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=x}\\{{y_0}=\frac{y}{2}}\end{array}}\right.$，利用點(diǎn)A在橢圓上即可得出．
（2）對(duì)直線l的斜率分類討論，利用直線與橢圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：（1）設(shè)C（x，y），A（x₀，y₀），則B（x₀，0），
∵|AB|=|AC|，∴A是BC的中點(diǎn)，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=x}\\{{y_0}=\frac{y}{2}}\end{array}}\right.$，
∵點(diǎn)A在橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，即$\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1$，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入可得x²+y²=4，
∴點(diǎn)C的軌跡方程為x²+y²=4．
（2）∵直線l與x²+y²=4只有一個(gè)交點(diǎn)，∴直線l與圓只有一個(gè)交點(diǎn)相切，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0，由$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得$k=\frac{5}{12}$，
∴直線l的方程為5x-12y+26=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在，即方程為x=2，也滿足題意．
∴要求的直線l的方程為5x-12y+26=0或x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線與橢圓相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．