Question

18．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上存在一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{3}{2}$，且點(diǎn)P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上．
（1）求拋物線E的方程；
（2）過點(diǎn)T（m，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A、B、C、D四點(diǎn)，且M、N分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，求△TMN的面積最小值．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線上存在一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為$\frac{3}{2}$，且點(diǎn)P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上，求出p，可求拋物線E的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-m），直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-m），分別于拋物線方程聯(lián)立，可得M，N的坐標(biāo)，求出|TM|，|TN|，可得△TMN的面積，利用基本不等式，求出△TMN的面積的最小值．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），則x₀+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴x₀=$\frac{3}{2}$-$\frac{p}{2}$（2分）
∵點(diǎn)P在圓x²+y²=$\frac{9}{4}$上，∴（3-p）²+4p（3-p）=9，解得：p=2
∴拋物線的方程為y²=4x．（4分）
（2）根據(jù)題意，直線AB、CD斜率存在且不為零，
設(shè)AB的斜率為k（不妨設(shè)k＞0），則CD的斜率為-$\frac{1}{k}$，
直線AB的方程為y=k（x-m），直線CD的方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-m）
由y=k（x-m），代入拋物線方程 得：k²x²-2（k²m+2）x+k²m²=0（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}m+2）}{{k}^{2}}$
∴y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
∴M（m+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）（8分）
同理，N（m+2k²，-2k）
∴|TM|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$，|TN|=2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$（10分）
S_△TMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$•2k$\sqrt{1+{k}^{2}}$=2（k+$\frac{1}{k}$）≥4
當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，等號(hào)成立
∴△TMN面積最小值為4．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查基本不等式應(yīng)用、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．