Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，（a_n-3）a_n+1-a_n+4=0（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)a₂，a₃，a₄值的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法①驗(yàn)證n=1成立，②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

解答 解：（1）令n=1，-2a₂+3=0，a₂=$\frac{3}{2}$，
令n=2，-$\frac{3}{2}$a₃-$\frac{3}{2}$+4=0，a₃=$\frac{5}{3}$，
令n=3，-$\frac{4}{3}$a₄-$\frac{5}{3}$+4=0，a₄=$\frac{7}{4}$．                     
（2）猜想a_n=$\frac{2n-1}{n}$（n∈N^*）．                              
證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1=$\frac{2-1}{1}$，所以a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立，即a_k=$\frac{2k-1}{k}$，
則（a_k-3）a_k+1-a_k+4=0，即（$\frac{2k-1}{k}$-3）a_k+1-$\frac{2k-1}{k}$+4=0，
所以$\frac{k+1}{k}$a_k+1=$\frac{2k+1}{k}$，即a_k+1=$\frac{2k+1}{k+1}$=$\frac{2（k+1）-1}{k+1}$，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．
綜上，對(duì)任意的n∈N^*，a_n=$\frac{2n-1}{n}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式，屬于中檔題．