Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}+\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2016}}+\sqrt{{a}_{2017}}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）分母有理化可得$\frac{\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{\sqrt{{a}_{2017}}-\sqrt{{a}_{2016}}}{{a}_{2017}-{a}_{2016}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}_{2017}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$），代入即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=（n-1）²，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，滿足，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}}$+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2}}+\sqrt{{a}_{3}}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{{a}_{2016}}+\sqrt{{a}_{2017}}}$，
=$\frac{\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}}{{a}_{2}-{a}_{1}}$+$\frac{\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}}{{a}_{3}-{a}_{2}}$+…+$\frac{\sqrt{{a}_{2017}}-\sqrt{{a}_{2016}}}{{a}_{2017}-{a}_{2016}}$，
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}_{2017}}$-$\sqrt{{a}_{1}}$），
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{4033}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．