Question

【題目】在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表中，每行的數(shù)互不相同，前六列中每列的三數(shù)之和為1，均大于1．如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表滿足下面的性質(zhì)：對于數(shù)表中的任意一列（）均存在某個使得．①

求證：（1）最小值（）一定去自數(shù)表的不同列；

（2）存在數(shù)表中唯一的一列（）使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)（）．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）假設(shè)最小值（）不是取自數(shù)表的不同列．則存在一列不含任何不妨設(shè)（）．由于數(shù)表中同一行中的任何兩個元素都不等，于是，（）．使得．矛盾．

（2）由抽屜原理知中至少有兩個值取在同一列．不妨設(shè)．由（1）知數(shù)表的第一列一定含有某個，則只能是．

同理，第二列中也必含某個（）．不妨設(shè)．

于是，，即是數(shù)表中的對角線上數(shù)字：．

記．令集合．顯然，且．因為，所以，．故．于是，存在．使得．顯然，．下面證明：數(shù)表具有性質(zhì)（）．

從上面的選法可知（）．這說明．

又由滿足性質(zhì)（），在式①中取，推得．于是，．接下來證明：對任意的，存在某個（）使得．

假若不然，則（）且．這與的最大性矛盾．因此，數(shù)表滿足性質(zhì)（）．

再證唯一性．設(shè)有使得數(shù)表具有性質(zhì)（）．

不失一般性，可假定②

．由于及（1），有．又由（1）知，或者，③或者④如果式③成立，則⑤由數(shù)表滿足性質(zhì)（），則對于至少存在一個，使得．

又由式②、⑤知．所以，只能有．同理，由數(shù)表滿足性質(zhì)（）得．于是，，即數(shù)表．如果式④成立，則⑥由數(shù)表滿足性質(zhì)（），則對于，存在某個（）使得．由及式②、⑥知．于是，只能有．同理，由滿足性質(zhì)（）及得．從而．