Question

4．設函數(shù)$f（x）=\frac{（x+1）（x+a）}{x}$為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． -1
• D． 2

Answer 1

分析 法一：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質得到f（-x）=-f（x），分別代入列出關于a的方程，即可求出a的值．
法二：由奇函數(shù)的性質可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質可知，函數(shù)的對稱軸x=0可求a

解答 解：由題意可得，x≠0，f（-x）=-f（x），
∴$\frac{（-x+1）（-x+a）}{-x}=-\frac{（x+1）（x+a）}{x}$，
整理可得，2（a+1）x=0對任意x≠0都成立，
∴a+1=0，
∴a=-1，
故答案為：-1．
法二：∵$y=\frac{{（{x+1}）（{x+a}）}}{x}$是奇函數(shù)，
由奇函數(shù)的性質可知，g（x）=（x+1）（x+a）=x²+（a+1）x+a為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的性質可知，函數(shù)的對稱軸x=-（a+1）=0，
∴a=-1，
故選：C．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質，當函數(shù)為偶函數(shù)時有f（-x）=f（x）；當函數(shù)為奇函數(shù)時有f（-x）=-f（x），熟練掌握此性質是解本題的關鍵