10．設(shè)二次函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2-2x-3
（1）求f（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足：-1＜x1＜2＜x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析 （1）設(shè)出二次函數(shù)，利用函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)表達(dá)式，通過比較系數(shù)，求出函數(shù)的解析式．
（2）利用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出不等式，求解a的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
則f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2-2x-3…3分
所以$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ 2a+2b=-2\\ a+b+2c=-3\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-2，c=-1，
從而f（x）=x2-2x-1…7分
（2）令g（x）=f（x）-a=x2-2x-1-a=0
由于-1＜x1＜2＜x2，所以$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（2）＜0\end{array}\right.$…10分
解得-1＜a＜2…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．若函數(shù)$f（x）=\frac{1}{（2x+1）（x-a）}$為偶函數(shù)，則a=（　　）
A．1B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{1}{2}$

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1．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=m（m≠0）$的漸近線斜率為±2，則該雙曲線的離心率為（　　）
A．$\sqrt{3}$B．$\sqrt{5}$C．$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$D．$\sqrt{3}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

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18．已知函數(shù)f（x）=（x-t）|x|（t∈R）．
（1）討論y=f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)t＞0時(shí)，求f（x）在區(qū)間[-1，2]的最小值h（t）．

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5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}}}{{{2^x}+1}}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上為增函數(shù)；
（2）設(shè)g（x）=log2f（x），若關(guān)于x的方程g（x）=a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知x5=-243，那么x=（　�。�
A．3B．-3C．-3或3D．不存在

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．當(dāng)x＞1時(shí)不等式$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}≥a$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A．（-∞，3]B．[3，+∞）C．（-∞，2]D．[2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

20．將函數(shù)f（x）=cosωx（ω＞0）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象與原圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則ω的最小值為（　�。�
A．$\frac{1}{3}$B．3C．6D．9

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+4y-13≥0}\\{2y-x+1≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$，且有無窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=（　　）
A．-2B．-1C．1D．4

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