Question

16．已知直線m：2x-y-3=0與直線n：x+y-3=0的交點為P．
（1）若直線l過點P，且點A（1，3）和點B（3，2）到直線l的距離相等，求直線l的方程；
（2）若直線l₁過點P且與x，y正半軸交于A、B兩點，△ABO的面積為4，求直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）由直線m，n聯(lián)立可得交點，由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點．
（2）方法一：由題可知，直線l₁的斜率k存在，且k＜0．則直線l₁的方程為y=k（x-2）+1=kx-2k+1．分別求出直線的截距，即可得出．
方法二：由題可知，直線l₁的橫、縱截距a、b存在，且a＞0、b＞0，則${l_1}：\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，又l₁過點（2，1），△ABO的面積為4，可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}+\frac{1}=1}\\{\frac{1}{2}ab=4}\end{array}}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x+y-3=0}\end{array}}\right.⇒m，n$的交點為（2，1），
由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點，
∴由l∥AB得l的方程為$y-1=-\frac{1}{2}（x-2）$，即x+2y-4=0，
由l過AB的中點得l的方程為x=2，
故x+2y-4=0或x=2為所求．
（2）方法一：由題可知，直線l₁的斜率k存在，且k＜0．
則直線l₁的方程為y=k（x-2）+1=kx-2k+1．
令x=0，得y=1-2k＞0，
令y=0，得$x=\frac{2k-1}{k}＞0$，
∴${S_{△ABO}}=\frac{1}{2}（1-2k）\frac{2k-1}{k}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$，
故l₁的方程為$y=-\frac{1}{2}（x-2）+1=-\frac{1}{2}x+2$．
方法二：由題可知，直線l₁的橫、縱截距a、b存在，且a＞0、b＞0，則${l_1}：\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，又l₁過點（2，1），△ABO的面積為4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{a}+\frac{1}=1}\\{\frac{1}{2}ab=4}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}}\right.$，故l₁方程為$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，即$y=-\frac{1}{2}x+2$．

點評 本題考查了相互平行的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、直線的截距式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．