Question

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+ax+cos2x若f（$\frac{π}{3}$）=2，則f（-$\frac{π}{3}$）=-2．

Answer 1

分析 由f（x）可令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax，則f（x）=g（x）+cos2x+$\frac{1}{2}$，判斷g（x）為奇函數，由f（-$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+ax+cos2x
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$+ax+cos2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax+cos2x+$\frac{1}{2}$，
可令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$+ax，則f（x）=g（x）+cos2x+$\frac{1}{2}$，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$-ax=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$-ax
=-g（x），即有g（x）為奇函數，
可得f（-$\frac{π}{3}$）=g（-$\frac{π}{3}$）+cos（-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$
又f（$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{π}{3}$）+cos$\frac{2π}{3}$+$\frac{1}{2}$，
兩式相加可得，f（-$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{3}$）=0，
由f（$\frac{π}{3}$）=2，可得f（-$\frac{π}{3}$）=-2．
故答案為：-2．

點評 本題考查函數的奇偶性的判斷和運用：求函數值，考查構造函數法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．