Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)PD=AD=2，求點D到面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，利用勾股定理證明BD⊥AD，根據(jù)PD⊥底面ABCD，易證BD⊥PD，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證PA⊥BD；
（II）要求棱錐D-PBC的高．只需證BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，則DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的長．

解答 （Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理得$BD=\sqrt{3}AD$．…（1分）
從而BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD，…（3分）
又由PD⊥底面ABCD，BD?面ABCD，可得BD⊥PD．…（4分）
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE⊥PB，垂足為E．
已知PD⊥底面ABCD，則PD⊥BC，
由（Ⅰ）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE．
則DE⊥平面PBC．…（8分）
由題設(shè)知，PD=2，則$BD=2\sqrt{3}$，PB=4，…（10分）
根據(jù)DE•PB=PD•BD，得$DE=\sqrt{3}$，
即點D到面PBC的距離為$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 此題是個中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，以及點到面的距離，查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題能力．