Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（常數(shù)a＞0）．
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后求出fˊ（1）即為切線的斜率，根據(jù)且點(diǎn)（1，f（1））與斜率可求出切線方程；
（2）設(shè)g（a）=e^a-a（a≥0），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可證得e^a＞a（a≥0），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e^a）上的最小值，最后討論最小值的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)情況．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=x²-3lnx，
∴f'（x）=2x-$\frac{3}{x}$（1分）
∴fˊ（1）=-1
又∵f（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-1=-（x-1）．
即x+y-2=0．--------------------------------3分
（2）①下面先證明：e^a＞a（a≥0）．
設(shè)g（a）=e^a-a（a≥0），則g′（a）=e^a-1≥e⁰-1=0（a≥0），且僅當(dāng)g′（a）=0?a=0，
所以g（a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，故g（a）≥g（0）=1＞0．
所以e^a-a＞0，即e^a＞a（a≥0）．------------------------------5分
②因?yàn)閒（x）=x²-a lnx，
所以f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2a}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2a}}{2}）}{x}$．
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時(shí)，fˊ（x）＜0，當(dāng)x＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$時(shí)，1，fˊ（x）＞0．
又$\frac{a}{2}$＜a＜e^a＜e^2a（a≥0，a＜2a）⇒$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＜e^a，
所以f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞）是增函數(shù)．
所以f（x）_min=f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}（1-ln\frac{a}{2}）$------------------------------9分
（3）下面討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)情況．
①當(dāng)$\frac{a}{2}（1-ln\frac{a}{2}）$＞0，即0＜a＜2e時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上無零點(diǎn)；
②當(dāng)$\frac{a}{2}（1-ln\frac{a}{2}）$=0，即a=2e時(shí)，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$=$\sqrt{e}$，則1＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＜e^a
而f（1）=1＞0，f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=0，f（e^a）＞0，
∴f（x）在（1，e^a）上有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)$\frac{a}{2}（1-ln\frac{a}{2}）$＜0，即a＞2e時(shí)，e^a＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＞$\sqrt{e}$＞1，
由于f（1）=1＞0，f（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）=$\frac{a}{2}（1-ln\frac{a}{2}）$＜0．
f（e^a）=e^2a-a lne^a=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
所以，函數(shù)f（x）在（1，e^a）上有兩個(gè)零點(diǎn)．（13分）
綜上所述，f（x）在（1，e^a）上有結(jié)論：
當(dāng)0＜a＜2e時(shí)，函數(shù)f（x）有、無零點(diǎn)；
a=2e時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．------------------------------14分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．