Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C₁和C₂的參數(shù)方程分別是

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)）和

x=cosφ y=1+sinφ

（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C₁和C₂的極坐標(biāo)方程；
（2）射線OM：θ=a與圓C₁的交點(diǎn)為O、P，與圓C₂的交點(diǎn)為O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先把兩圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，再把直角坐標(biāo)方程為轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程．
（2）根據(jù)圓的坐標(biāo)形式．利用兩點(diǎn)間的距離公式，再利用換元法進(jìn)一步求出最值．

解答： 解：（1）圓C₁

x=2+2cosφ y=2sinφ

（φ為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+y²=4
即：x²+y²-4x=0
轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為：ρ²=4ρcosθ
即：ρ=4cosθ
圓C₂

x=cosφ y=1+sinφ

（φ為參數(shù)），
轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x²+（y-1）²=1
即：x²+y²-2y=0
轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程為：ρ²=2ρsinθ
即：ρ=2sinθ
（2）射線OM：θ=α與圓C₁的交點(diǎn)為O、P，與圓C₂的交點(diǎn)為O、Q
則：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）
則：|OP|=

4(cosα+1)2+4sin2α

=

8+8cosα

，
|OQ|=

cos2α+(1+sinα)2

=

2+2sinα

則：|OP||OQ|=

(8+8cosα)(2+2sinα)

=4

1+sinα+cosα+sinαcosα

設(shè)sinα+cosα=t（1≤t≤

2

）
則：sinαcosα=

t2-1

2

則關(guān)系式轉(zhuǎn)化為：
4

1+t+ t2-1 2

=4

|t+1|

2

=2

2

|t+1|
由于：1≤t≤

2

所以：（|OP||OQ|）_max=2

2

(

2

+1)=4+2

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程及極坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，利用換元法求三角函數(shù)的最值問題．